通过将车流量的增大或减小转化为路长权重的变化。将交通流量的动态问题转化为静态问题，用解决最短路问题的Dijkstra 方法，给出交通流量实时最优控制的可行性模型及其有效算法。
关键词：交通流, 实时最优控制, 道路加权, Dijkstra 方法
随着国民经济的持续、高速发展，各种机动车尤其是私家车拥有量急剧增加带来了交通运输业的空前繁荣。但是，大多数城市的交通已从过去的局部拥挤演变成为当今的大范围全面紧张，如我国的一个大城市，当处于早晚交通高峰时，交叉路口处的阻车长度长达1000多米，有的阻车车队从一个交叉路口延伸到另一个交叉路口，这时一辆车为通过一个交叉路口，往往需要半个小时以上，还不如步行快，这给城市交通带来了难以承受的负荷。拥挤不仅带来时间的浪费，还导致公交系统运行的无规则性，如公交汽车不能按时到站等，使人们对自己的旅行时间无法估计，耽误工作和等。这种紧张状况日趋严重，已成为大城市突出的社会问题之一，也成为国民经济进一步发展的“瓶颈”问题。因此，必须面对现实，解决城市的交通拥挤，堵塞问题。
那么城市交通拥挤、堵塞原因何在呢？分析如下：
（一）、现行交通信号控制方法中交通信号与交通流量不适应。目前，各城市交叉路口使用最为广泛的是单点定周期控制方式。这种控制方式存在的问题有以下几个方面：
1. 对交通流的随机变化无适应能力。由于是定周期方法，因此一旦周期时间和绿信比选定之后，一般就不再经常改动。而交通网络中车流、人流的变化是随机的、经常的，各个周期中交叉路口同一方向上通过的流量可能差异很大。不同的流量对绿灯时间有着不同的要求。所以此种控制方式给出的信号常常不能与客观实际车流的随机变化相适应。我们常常遇到这样的情况：有车辆等待通过的方向信号是红灯，而与此同时无车辆方向的信号却是绿灯，白白浪费了现有路口通行能力。为了克服这一缺点，人们考虑运用概率、统计的方法，在收集了大量交通数据的基础上，对周期时间和绿信比进行离线优化选择，使选出的周期时间和绿信比在概率意义下的合理性有很大提高。但是，这又带来了下面的问题。
2. 需要经常调节控制规律。首先是因为城市土地结构变化很快而带来的车流量变化很快。以往的数据很快便失去了实用价值。因此优化方案不在最优甚至不合理，需要重新进行数据收集，最优方案选择等工作。这一点对发展中城市更为明显。其次是同一路口 、同一方面在每星期中各天的流量是不同的，每天中高峰、平峰、低峰时交通也是不一样的，这些都要求按预先算好的时刻表、日期表调换周期时间和绿信比，局限性很大。并且交通流量的随机性越大，其缺点与明显。
3. 没有考虑各交叉路口的联系。“单点”即指各路口各自进行控制，不管邻近路口的信号灯翻转规律如何。这种各个路口互不配合、互不协调的控制方式人为地给交通流的流动设置了许多阻力。
（二）、信息流通条件极差，无法对乘客和车辆进行诱导和管理。这个问题在交通网络运行畅通的情况下并不明显，但当交通堵塞、交通事故等紧急发生时就显得非常突出。然而这些紧急却常有发生。每当这时，公共汽车调度站无法知道路上的情况，从而无法对公共汽车的线路、发车频次作恰当调整；其他车辆的司机也得不到信息无法选择较为畅通的线路；在公共汽车站等车的乘客也无法做出决策，是继续等车或是换乘其他车次或是步行等。实际上在许多情况下，只要进行恰当的诱导，道路的拥挤状况就会大大缓解或保证畅通。例如：年洛杉矶奥运会期间，由于用了大量的动态路标显示板，诱导车辆选择恰当的路线，因而，尽管车辆较平时增多很多，但网络中交通流的运行状况却比平时还好。
（三）、停车场的能力不够，位置也不当。这是多年延续下来的旧病，只修路不修停车场。比如，成都火车站东西二环路，那里的批发市场很多，但是，无合理的停车场，大多数司机将车直接停放在街道上，这样严重影响了道路的通行能力。应该将停车场向专门化，地下化发展，在宾馆，商场，机关大楼，居民大楼的地下设置社会化的停车场是解决城市交通拥挤，堵塞的一条行之有效的办法。
交通运输是一个复杂的大系统，这个系统必须在严格科学的制度下运行，它不是一个自适应系统，任何违反规章制度的行为都可能导致大系统的局部、甚至“整体”的瘫痪。
交通拥挤和堵塞对策从总体上可分为三大类：
（1） 加强道路建设，以提高交通网络的交通容量；
（2） 加强交通运用与管理以充分发挥现有道路设施的作用，使得交通网络的使用效率最大；
（3） 全面实施交通需求管理以使交通需求在时间、空间上均匀化，交通结构合理化。由于交通基础设施建设工期长，耗资大，在当前资金有限的条件下，解决特定的城市交通问题时，必须事先进行对策的效果分析。
如前所述，要想比较有效的解决城市的交通拥挤，堵塞问题不能单纯的只依靠增加道路面积和长度，而要不断的完善路网系统，调整路网结构和加强交通管理的现代化，以及对单个车辆的控制及引导。首先就交通流量的静态情形是一种理想状态，既设在一个城市街区内车流速度一定，对单个车辆的控制及引导进行研究分析，给出调控标准。
交通道路网的拓扑性质可以用图论的基本原理来分析。图由“弧”和“顶点”两部分组成，交通道路网的拓扑模型可以抽象认为是由节点（交叉路口）以及弧（道路）组成的有向图。边的方向就是车流的方向。由于道路和交叉路口都有很多属性，这样就可以把始发地和目的地之间的区域交通网抽象成了多属性赋权有向图。
设：
1. 所有道路一样宽；
2. 每一条道路都不需停车等待；
3. 车流速度恒定；
4. 道路长已知。
5. 从 点到 点所用时间仅与路长有关。
不考虑意外事故对交通的影响。车子所在地设为 点，目的地设为 点。于是车子所要走的路线就可以用P来表述。
： , 两点间距离
v：车流速度
t：从始发地 到目的地 的时间
：P中所有弧长之和
表示道路状况的权重
表示车流速度改变而赋给道路的权重
表示
模型建立
由于设车速恒定，由 可知，要求从始发地 到目的地 用时最短就可以转化为求道路最短。此时问题可以用以下数学模型描述:
（ * ）
我们将城市道路网描述为一赋权有向图D=(V,U)对每一条有向边 ∈U都存在一l 与这对应，其表示道路两结点间的距离，称之为有向边 的权。
＝
模型的求解
在赋权有向图中，我们选定某个起点 ，终点 .用迪克特拉（E.W.Dijkstra）算法。Dijkstra方法的基本思想是从 出发，逐步地向外探寻最短路。执行过程中，与每一个点对应，记录下一个数（称为这个点的标号），它或者表示从 到该点的最短路的权（称为P标号）、或者是从 到该点的最短路的权的上界（称为T标号），方法的每一步是去修改T标号，并且把某一个具T标号的点改变为具P标号的点，从而使D中具P标号的顶点数多一个，这样，至多经过p-1步，就可以求出从 到各点的最短路。
对静态的交通加权最短路问题进行了数学建模，但是实际状态中，还有许多因素影响交通运行时间，譬如道路宽度不尽相同，会使车辆流率不同（车流量的大小用车流率表示，车流率是道路上某点单位时间内到达或离开的车辆数，简称流率）；时段高峰期，会造成某一路段在某一时段交通拥挤甚至阻塞，从而使得车流速度降低等，也就是只从静态考虑了实际问题。这一些个因素没有考虑进去，按照理想模型来分析，会导致估计结果粗糙从而失真，不能有效地对单个车辆进行引导控制。于是我们在前面设的基础上再进行模型的修改：当流量处于动态变化时，把道路宽度，交通阻塞等因素考虑进去。这样一来定点路段上的车行最短时间的问题上比静态情形复杂很多，我们用因素转化法，将多因素变量转化为单因素变量来建立优化模型。
首先我们可以利用自动的交通检测装置来测量交通网络中各个不同部分的交通流状态，再通过一些电讯设备将这些检测到的信息送到控制中心或电台等，这样就可以知道某一时刻的各个路段的交通状况，从而为我们对司机的行车进行引导提供了信息。
由于加入了影响因素，车流速度随着高峰期拥堵而在一个时间段有所改变。由 知，求用时最短的方案必然有所改变。但是我们可以将车速改变转化为路长改变，即对道路加权改为随时间变化的函数，如速度增大则道路权为正小数，速度减小则把权设为正整数，使得要求用时最短仍能转变成求道路最短。
刚才考虑了车流速度改变的情况，现在来看看交通状况改变，譬如发生交通意外而使道路瘫痪不能行车，或是时段高峰期使得交通拥挤等。这时我们仍可以在一个时间段对道路加权来使问题转变成静态模型，即求道路最短模型。道路的权重可以通过经验给出。当道路不能畅通无阻时，我们设其权重为大于1的正整数，反之设为1。
仍同初始交通加权最短路问题一样，可将始发地和目的地之间的区域交通网抽象成多属性赋权有向图。
由自动的交通检测装置反馈来的数据信息，我们可以给一条道路赋予一定的权重，根据情况程度决定具体权重。
当道路因各种原因使得车流速度受到影响时，我们可以把权重 取值范围设定为〔1，∞），其中 =∞ 表示道路严重阻塞，车辆不能通行； =1 表示车流速度不受影响，可以自由行驶。车流速度改变后，我们可以把权重 的取值范围设定为（0，∞），当 时，表示车流速度增大； 时，表示车流速度减小； =1时，则表示与初始速度相比没有改变。
由以上所述，我们可以把模型建立为
（ ** ）
虽然每一时刻道路状况，车流速度不尽相同，但是经过转换，形成以上模型，就只是参数变化而已，如此一来仍然可以用初始最短路问题的模型求解，这样就大大简化了问题。
在下述Dijkstra方法具体求解步骤中，用P,T分别表示某个点的P标号、T标号， 表示第i步时，具P标号点的集合。为了在求出从 到各点的距离的同时，也求出从 到各点的最短路，给每个点 以一个 值，算法终止时，如果 ，表示在从 到 的最短路上， 的前一个点是 ；如果 ，则表示D中不含从 到 的路； 表示 = 。其中M表示无穷大的数。
模型检验与实用性研究
前面给出了一般性的优化模型，现在我们举个例子对模型进行计算。
如图所示，这是一个单行线交通网，车辆以速度v行驶，每弧旁的数字表示两点间相对距离。现在某出租车要从 出发，通过这个交通网到 去，求所用时间最短的路线。
图5-1
由 可知，若速度等因素没有改变时，根据模型（ * ），用Dijkstra算法直接求解，得从 到 的最短路是 。
设，此时速度或道路状况改变，则根据模型（ ** ）我们可以得：
不妨设此时车已开向 ，并且车速变为2v（ =0.5）， 到 的路上由于上班高峰期造成了阻塞( =5)， 到 的道路由于不是主干道车流较之前减少畅通率提高 ( =0.6)，其他道路状况没有改变( =1)。此时根据模型（ ** ）：
可求得从 到 用时间最短路线为
实用性研究
优化后的模型，对于实际交通流量控制有着较好的导控作用。在运用此模型时，可通过三个设备获取数据，实现可行性。第一个是车辆设备，二是路边设备，三是控制中心。
车辆设备包括：
⑴ 接收由驾驶员输入数据的操作键盘；
⑵ 从路旁通讯设备接收数据和向该设备发送数据的收发部件；
⑶ 能提供从路旁通讯设备接收到的数据的现实控制板；
⑷ 接收来自路边或中心广播设备传送来的信息的接口。
路边设备包括：
⑴ 记录从中心处理设备传来的数据的路边通讯设备，以及通过嵌入路面的环形线圈和车辆天线与单个车辆进行双向通讯。
⑵ 直接用电缆线来连接中心控制与路边广播设备，再进行车辆通讯。⑶ 自动的交通检测装置，可测量车辆速度以及检测道路状况。
这样，司机把一个他所希望的终点站代码输入到安装在车内的键盘，一旦车辆接近确定的地点时，车上的微型计算机通过车辆天线和一个嵌入路面的回路线圈向路边微机设备传送存贮的代码数据，此微机再将代码数据反馈回控制中心，控制中心利用本文优化模型及给出的算法进行求解，得出合理的行驶路线，经由路边设备反馈给车上的微型计算机，司机通过显示器可以获取最短路线。
由于交通不是单个车辆的，而是众多车辆参与在内的运行，因此交通状况时刻可能改变，这将影响单个车辆行驶路线的改变。本文的导控考虑到此种情况，将导控分时间段进行：
表5-1
低谷期
5:00-
7:30 高峰期
7:30-
9:00 中间期
9:00-
12:00 高峰期
12:00-
13:00 中间期
13:00-
17:30- 高峰期
17:30-
19:00 低谷期
19:00-
23:00
在低谷期内的反馈周期为30分钟，中间期为15分钟，而高峰期则为5分钟一次，因为高峰期道路状况改变快，因此反馈给司机的数据间隔也不能太长。这样就使得本文的模型更具可行性。
有一可投资项目,成功与失败的几率各半,成功后收益率为1.6(不含本金)
失败后丧失本金
该项目可反复投资,初始资金为100W,有一人甲用每次投资全部金额的一半的方法进行投资
问1甲的方法如何,结果怎样?
2你认为最好的投资方法是什么?
最近回到老家养生，逗逗鸡遛遛狗看看，就没怎么更新，当然也没怎么学习，不知不觉都一周了……嗯，这样确实不太好，接下来会恢复更新的频率，一周两三篇。由于就我一个人写，效率也不太高，还请谅解。
由于这几天没看消息，微信后台有个同学拜托我找书，但超过48小时就无法回复了，qwq向这位朋友说一声抱歉，如果看到的话可以直接加我好友~其他想找书的同学也可以直接加我微信……毕竟如果不是网上可以找到的免费电子书，全国图书馆联盟的书基本都是三元一本，自己付费hhh……淘宝一般收五元一本，想来这两元就是人工费了……所以不是我要收三块钱，是人家网站要收三块钱……
好的，废话不多说，今天再讲一个评价类模型——模糊综合评价模型。
事先声明，我也是第一次接触这方面知识，可能无法很好地去解释原理什么的，应用的过程我会好好写的。
（至于上一篇文章说的熵权法还有一个之前提到的灰色关联分析，回头我再补上）
首先来说明以下“模糊数学”，模糊数学是研究和处理模糊现象的一种数学理论和方法。在实际生活中，有许多概念难以用确定性的集合去描述。例如“年轻”这个概念，是15 30岁属于年轻呢，还是18 25属于年轻呢？对于这种问题，每个人可能会有不同的看法，也很难给出精确的范围，我们可以把它理解成一种模糊的概念。
生活中常提到的大与小，长与短，美与丑等概念，都是一种模糊的概念。其实还蛮好识别的，可以问问自己，多大算大？多小算小？多长算长？这种问题感觉有点儿抬杠似的，不过正是因为没有一个精确的范围，我们只能发出这样的疑问。与这种模糊概念相对应的，就是确定性概念了，例如性别，一般而言不是男就是女，且基本有了准确的划分依据；再比如身高，都是180，190这样的测量结果，也是十分精确，并不会有太大歧义的。注意，“身高”是一个确定性概念，而“高”就是一个模糊性概念，大家自己想一想hhh
模糊数学就是用来处理涉及模糊概念的问题，尝试使用某种方法将模糊的概念量化，方便进行处理计算。模糊综合评价，自然就是模糊数学在评价类问题的一大应用了，也就是处理涉及模糊概念的评价类问题。
其实也可以发现了，评价类问题的核心之一，就是把各种评价指标量化，再去加权啦求和啦等等，基本都差不太多，模糊综合评价模型也是如此，理解以及实践起来都不是太难。（此处仅指我接触到的评价类模型，太高深的就不晓得了）
为了更好地解释之后的模型，有必要介绍一些模糊数学里的相关概念。
首先回顾一下经典的集合。我们在高中的时候就接触了集合的概念：具有相同属性的事物的集体。这种经典集合有一些基本属性，例如确定性，给定一个集合，任给一个元素，这个元素要么属于，要么不属于这个集合，不存在第三种情况。
在模糊综合评价模型中，我们不用这种经典的集合，因为我们要处理的是模糊概念，所以需要使用模糊集合。模糊集合是用来描述模糊性概念的集合，它与经典集合的区别之一是，模糊集合不具备确定性。例如35岁，我们既可以认为它“年轻”，也可以认为它是“中年”，并没有一个精确的界定。
因此，我们不像传统集合那样，一个元素要么属于一个集合，要么不属于。我们使用“隶属度”来表示元素与模糊集合之间的关系，也就是元素隶属于模糊集合的程度。谈到隶属度，就有必要提到隶属函数，这是一个很重要的概念。简单而言，隶属函数就是隶属度对各个元素的函数，定义域是我们所研究的元素，函数值就是隶属度。隶属度的范围是 ，其值越大，就代表越属于这个集合。（隶属函数内实际上不是按定义域值域去描述的，这里只是方便理解qwq）
举一个简单的例子。我们要衡量“年轻”这个概念，不好直接在0-150岁之间画一条线，把年轻和不年轻区分开。因此对于0-150之间的每一个整数年龄，我们给定一个相应的值，也就是隶属度，来判断它与“年轻”这个集合的关系。为了更方便的给出这样的值，就设计了以我们想要研究的元素——这里是0-150之间的整数——为定义域的函数，隶属函数。该隶属函数 定义如下。
其中A代表模糊集合，在这里即是“年轻”这个集合，x代表集合中的元素，即0-150之间的年龄，我们可以画出函数图像。
可以发现，当年龄小于20时，相应的隶属度为1，即我们认为小于20岁一定属于年轻的范畴；当年龄在20到40之间时，隶属度随着年龄的增大而逐渐变小；当年龄大于40时，我们认为其基本脱离了年轻的范畴，隶属度也全部为0。如果一个人30岁，我们无法认定他是否年轻，但我们使用0.5这个隶属度，认为30岁有50%的程度，属于年轻的范畴，也有50%的程度不属于年轻的范畴。0.5衡量了30岁这个年龄属于年轻这个集合的程度，表达了30岁和“年轻”之间的关系。
我们也可以从概率的角度去理解隶属度，实际生活中隶属度的确定，也往往是通过调查来实现。例如问100个人，30岁是不是年轻，如果有40个人回答是，其隶属度就可以确定为 ，当调查的总数越大，这一值就越趋近于真正的隶属度。是不是很像“频率趋近于概率”呢？至于上面的隶属函数，只是为了方便理解随意构造出来的，并不等同于真实的调查结果，但是依然反映了构造者的主观想法。事实上，隶属函数也不是唯一的，不同的人，不同大小的样本，得出的隶属函数很可能是不同的。
嗯，基本的概念，也就是模糊集合，隶属函数，隶属度到此已普及完毕，由于我也接触没多久，可能讲得不太清楚准确。简单来说，我理解的隶属度，就是元素属于某个模糊集合的程度，而隶属函数就是用来确定隶属度的函数，就这样。倒也不必太多纠结，不影响后面的具体应用即可。
一般来说，模糊集合主要有三类，分别为偏小型，中间型和偏大型。其实也就类似于TOPSIS方法中的极大型、极小型、中间型、区间型指标，并没有什么特别的。举个例子，“年轻”就是一个偏小型的模糊集合，因为岁数越小，隶属度越大，就越“年轻”；“年老”则是一个偏大型的模糊集合，岁数越大，隶属度越大，越“年老”；而“中年”则是一个中间型集合，岁数只有处在某个中间的范围，隶属度才越大。总结来说，就是考虑“元素”与“隶属度”的关系，再类比一下，就是考虑隶属函数的单调性。下图可以代表“年轻”、“中年”、“年老”这三个模糊集合的隶属函数图像，看一下就懂我的意思啦。
为什么要知道模糊集合的分类呢？因为在模糊综合评价模型中，需要确定相应的模糊概念属于偏大型还是偏小型还是中间型，之后再用相应的隶属函数，才能求出合适的隶属度。再次注意，不管模糊集合是哪一种类型，隶属度越大，属于这个集合的程度也越大，记住了吗？
以上只是常见的三种，其实想一想就知道，应该有蛮多形状的，只要一个元素对应一个隶属度，且范围在 之间即可。上述三种只是比较常见的三种，也是评价类问题常涉及的模糊集合类型。
当然啦，可能还有一些疑问，例如对于“年轻”，“年老”这种集合，我们把岁数当成了我们研究的元素，岁数是可以量化为数字的。类似的，快与慢这种模糊概念可以使用速度量化，深与浅可以使用深度量化等等。那，美与丑，使用啥子来量化呢？这个我也不晓得……想来没有一个常见的变量可以用来量化美与丑，一般的评价类模型中，应该也不会涉及到这种比较坑的问题吧（不会吧不会吧）。感兴趣的还是自行查阅吧……
确定隶属函数，其实也就是给定一个模糊集合，之后再通过某些方法，给出我们需要研究的元素相对于该模糊集合的隶属度。例如对于“年轻”这个模糊集合，我们就要想办法去确定0岁-150岁之间每个岁数相对于“年轻”集合的隶属度，画出图像，便是隶属函数的图像了。
具体有三种方法来确定隶属函数。
1.模糊统计法
模糊统计法的原理是，找多个人对同一个模糊概念进行描述，用隶属频率去定义隶属度。类似于求概率时，我们可以用频率趋近于概率。例子我们上文提到过，我们想知道30岁相对于“年轻”的隶属度，那就找来 个人问一问，如果其中有 个人认为30岁属于“年轻”的范畴，那 就可以用来作为30岁相对于“年轻”的隶属度。 越大时，这一估计越符合实际情况，也就越准确。其他的岁数也照这个方法去问，就能画出一个函数图像啦。
嗯，这个方法比较符合实际情况，但是往往通过发放问卷或者其他手段进行调查，数学建模比赛时，时间可能不太够吧，所以仅做介绍，基本不予用。（不过现在淘宝填问卷还蛮快的，有钱真好）
2.借助已有的客观尺度
对于某些模糊集合，我们可以用已经有的指标去作为元素的隶属度。例如对于“小康家庭”这个模糊集合，我们想确定100户家庭的隶属度，那就可以用“恩格尔系数”衡量相应的隶属度。恩格尔系数=食品支出总额/家庭总支出，显而易见，家庭越接近小康水平，其恩格尔系数应该越低，那“1-恩格尔系数”就越大，我们便可以把“1-恩格尔系数”看作家庭相对于“小康家庭”的隶属度。不过这只是打个比方，毕竟对于富豪家庭，恩格尔系数很小，隶属度很大，但是富豪家庭是不是“小康家庭”，还是有待商榷的。
类似的，对于“设备完好”这一模糊集合，我们可以使用设备完好率来衡量隶属度，对于“质量稳定”这一模糊集合，我们可以使用正品率衡量隶属度。遇到问题的时候可以先百度一下，指不定就找到了一个好的指标。
不过要注意，隶属度是在 之间的，因此寻找指标的时候，也要注意在 之间。不在的话，可以进行归一化处理，之前提到过的。
这种方法建模中可以使用，看具体题目而定啦
3.指派法
这是一个主观性比较强的方法，即凭主观意愿，在确定模糊集合的所属分类后，给它指派一个隶属函数，得到元素的隶属度。听上去就很主观，但也是比赛中最常用的方法之一，只需进行选择，便可轻轻松松得到隶属函数。
我把常用的函数形式贴在下面。
可能不是很清楚，但基本可以看出，对于偏小型模糊集合，隶属函数总体上递减，也就是元素的某个特征越大，隶属度越小；对于偏大型集合，隶属函数总体上递增，也就是元素的某个特征越大，隶属度越大；对于中间型集合，隶属函数总体上先递增后递减，中间一部分或是某个点取到最大值。
实际建模比赛中，为了计算方便，最常使用的是梯形分布式隶属函数（我听的课是这么说的）。当然啦，具体问题还是要具体分析，隶属函数平滑一点，陡峭一点，中间一部分还是一个点取极值，都要根据具体的情况去抉择，但总体上就是这么回事了。
再看一眼梯形分布式的隶属函数图像。
以上就是确定隶属函数的几种方法了。还有一些其他的方法，比如德尔菲法，二元对比排序法，综合加权法等等，有兴趣可以自己查阅。
铺垫了这么久，总算可以用这个方法进行解题啦。
首先我们还是要引入几个概念。
举个例子说明，如果我们要评价一名学生的表现，按照之前提到的层次分析法或者TOPSIS法，都是找到指标后进行一个综合的打分，往往是用来比较多名同学的表现，给出排名。上述的评价指标，其实就对应着这里的因素集。我们可以令 ，使用因素集类的四个指标来评价一名学生的综合表现。
评语集，即是相应对象的评价结果，类似于上面提到的“打分结果”。不同之处在于，评语集并非是分数的集合，而是由模糊概念组成的评语。例如评定学生的表现，我们就可以把评语集设定为 。评语集中的这三个评语，都是模糊的概念，不过在处理具体问题时，我们也可以把方案放在评语集中，以选择最佳的方案。
权重集，就是你想的那个权重，给每个指标进行赋权，用来进行综合评价，就不多说了。在这里，我们可以取权重集 ，作为因素集中四个指标的权重。
那模糊综合评价模型解决的是什么问题呢？嗯，其实就是给定对象，用因素集的指标一番评价之后，从评语集中找到一个最适合它的评语。如果评语集中是方案的话，就是选出一个最恰当的方案。那这种“合适”用什么来衡量呢？显而易见嘛，就是隶属度，隶属于某个模糊集合的程度。
ok，举例概括一下，我们现在有一个学生，有一个因素集 ，有一个权重集 ，有一个评语集 。我们的目的就是一番操作之后，给学生一个合适的评语。明白了吧~
一级模糊综合评价模型，也就是因素集中的评价指标只有一层，不存在一层又嵌套一层的情况，也是最基本的情况。
解决这种问题，主要分为这么几步。
嗯，到此为止，我们已经学会了一级模糊综合评价的解题步骤。那应该也意识到了，最重要的就是明确判断矩阵和权重向量，两个一乘，综合隶属度向量就出来了，选择最大的就是。权重向量之前已经说过，那判断矩阵，或者说判断矩阵中的 个隶属度，怎么求呢？上面也提到了确定隶属函数的方法。有了隶属函数，隶属度也就可以求出来了。实际建模中，我们常常使用“指派法”，指定一个符合实际问题的隶属函数，使用其他方法也是可以滴。只要知道判断矩阵和权重向量，评价问题就基本解决了。
其实解题步骤还蛮简单的吧，只不过前面铺垫的太多，所以我写的也比较多，真做起来倒也不是很复杂。下面我就找一个中国大学MOOC上的例子，展示一下解题过程。嗯，全部手打太浪费时间，我就贴图啦。
这个是题目，也就是给出了污染物的浓度以及每个污染物在空气质量等级评定时的权重，让我们确定这一天的空气质量等级。
下图是评价标准。
污染物的浓度就是本题的因素集，空气质量的四个等级就是评语集，也是一种模糊概念。例如当TSP的浓度为0.20时，我们无法确定单从TSP的角度，空气质量等级是一级还是二级，但我们可以确定相对于每个等级的隶属度。
隶属度如何确认呢？这里我们可以使用指派法，指定四个模糊集合的隶属函数，用最常用也比较符合题意得梯形分布式隶属函数。可以发现，“一级”应该是一个偏小型的模糊概念，即污染物浓度越低，隶属于“一级”的程度越大；“二级”和“”应该是中间型的概念，污染物浓度处于中间的某个范围时，相应的隶属度越大；“四级”是个偏大型概念，污染物浓度越大，隶属于“四级”的程度也越大。我们确定了评语集中模糊概念的类型后，就可以给出相应的梯形分布隶属函数了。如下图。
这里 对应的就是上表中每个污染物浓度恰好在一二三四这四个等级时的数值。从隶属函数的角度来看，当污染物浓度等于这表中的数值时，相对于相应空气质量等级的隶属度刚好为1。应该不是很难理解，想一想就大概明白了。
确定了隶属函数，直接把这一天的每个污染物的浓度带进隶属函数，就可以求出隶属度，得到判断矩阵了。
有了判断矩阵，也有了权重向量，就可以直接计算综合隶属度向量 啦。
显而易见，这一天的空气质量隶属于二级的程度最大，所以我们认为这一天空气质量等级为二级。
嗯，例题也讲好了。大家可以去中国大学MOOC上搜华中农业大学的数学建模课，里面有模糊综合评价更加详细的讲解。这个例题也来自该课程。嗯，还有其他的建模方法。
多级模糊综合评价，其实就相当于多了几层因素集。例如我们同时要处理20个评价指标，确定权重会比较麻烦，那我们就可以把20个指标分为四类，在每个类之内确定一次指标的权重，之后再确定四个大类的权重。这样子就会比较方便。如果有很多指标，就可以多嵌几层，也就是多级模糊综合评价了。
看上图这个学生评价模型，就是一个二级的综合评价模型，指标后面的数字代表在相应那一层的权重。这个时候我们如何确定判断矩阵呢？肯定是不能一上来就确定第一层的判断矩阵，需要从最后一层，一步一步推上来。
例如我们考察学习成绩这一指标对应的隶属度向量时，就需要先考察它的下一层指标，也就是专业课成绩和非专业课成绩这两个指标。例如Z同学专业课成绩是90，那从这一指标来看，Z同学的隶属度向量是 ，评语集还是“优秀、良好、差”。之后再看看非专业课成绩，得到一个隶属度向量 。我们用这两个向量，就可以构造出一个矩阵 ，这是一个 矩阵，代表着学习成绩这一指标下两个二级指标组成的判断矩阵。那如何得到学习成绩这个一级指标相对于评语集的隶属度向量呢？很简单呀，不是有权重向量 了吗。我们用 ，就可以得到一个 的向量，自然就是从学习成绩这一指标来看，Z同学相对于评语集的隶属度向量了。嗯，拆开了看，就是把两个二级指标的隶属度加权求和罢了，应该不难理解。
类似的，求出其他一级指标的隶属度向量，组成一级指标的判断矩阵，再加权一次，就可以得到综合隶属度向量了。
嗯，其实就是先得到 级指标的判断矩阵，得到 级指标的隶属度向量，再用 级指标的隶属度向量组成判断矩阵，得到 级指标的隶属度向量……以此类推，得到一级指标的隶属度向量，也就是用来综合评价的隶属度向量了。
嗯，讲完啦~
至于局限性就不说了，知道使用的条件也就行了，我也不知道说些什么，那就这样，下次再见~
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以上。
对策论亦称竞赛论或博弈论。是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。一般认为，它既是现代数学的一个新分支，也是运筹学中的一个重要学科。对策论发展的历史并不长，但由于它所研究的现象与人们的政治、经济、军事活动乃至一般的日常生活等有着密切的联系，并且处理问题的方法又有明显特色。所以日益引起广泛的注意。
在日常生活中，经常看到一些具有相互之间斗争或竞争性质的行为。具有竞争或对抗性质的行为称为 对策行为 。在这类行为中。参加斗争或竞争的各方各自具有不同的目标和利益。为了达到各自的目标和利益，各方必须考虑对手的各种可能的行动方案，并力图选取对自己最为有利或最为合理的方案。对策论就是研究对策行为中斗争各方是否存在着最合理的行动方案，以及如何找到这个合理的行动方案的数学理论和方法。
对策问题的特征是参与者为利益相互冲突的各方，其结局不取决于其中任意一方的努力而是各方所取的策略的综合结果。
先看一个大家都熟悉的例子。
表1 各种情况对应的判刑年数
我们从这个问题中看一看对策问题的基本要素
在一个对策行为（或一局对策）中，有权决定自己行动方案的对策参加者，称为局中人。通常用 表示局中人的集合．如果有 个局中人，则 。一般要求一个对策中至少要有两个局中人。在例 1 中，局中人是 两名疑犯。
一局对策中，可供局中人选择的一个实际可行的完整的行动方案称为一个策略。参加对策的每一局中人 ，都有自己的策略集 。一般，每一局中人的策略集中至少应包括两个策略。
再一局对策中，各局中人所选定的策略形成的策略组称为一个局势，即若 是第 个局中人的一个策略，则 个局中人的策略组
就是一个局势。全体局势的集合 可用各局中人策略集的笛卡尔积表示，即：
当局势出现后，对策的结果也就确定了。也就是说，对任一局势， ，局中人 可以得到一个赢得 。显然， 是局势 的函数，称之为第 个局中人的赢得函数。这样，就得到一个向量赢得函数 。
本节我们只讨论有两名局中人的对策问题，其结果可以推广到一般的对策模型中去。
零和对策是一类特殊的对策问题。在这类对策中，只有两名局中人，每个局中人都只有有限个策略可供选择。在任一纯局势下，两个局中人的赢得之和总是等于零，即双方的利益是激烈对抗的。
设局中人Ⅰ，Ⅱ的策略集分别为：
当局中人Ⅰ选定策略 和局中人Ⅱ选定策略 后，就形成了一个局势 ，可见这样的局势共有 个。对任一局势 ，记局中人Ⅰ的赢得值为 ，并称：
为局中人Ⅰ的赢得矩阵（或为局中人Ⅱ的支付矩阵）。由于定定对策为零和的，故局中人Ⅱ的赢得矩阵就是 ，一个零和对策就给定了，零和对策又可称为矩阵对策并可简记成：
从 中可以看出，若局中人Ⅰ希望获得最大盈利30，需用策略 ，但此时若局中人Ⅱ用策略 ，局中人Ⅰ取策略
时，最坏的赢得结果分别是：
其中最好的可能为 。如果局中人Ⅰ取策略 ，无论局中人Ⅱ取什么策略，局中人Ⅰ的赢得君不悔少于2.
局中人Ⅱ取各方案的最大损失为 ， ，和 。当局中人Ⅱ取策略 ，其损失不会超过2。注意到在赢得矩阵矩阵，2即是所在航中的最小元素又是所在列中的最大元素。此时，只要对方不改变策略，任一局中人都不可能通过变换策略来增大赢得或减少损失，成这样的局势为对策的一个 稳定点 或 稳定解 。
给定一个对策 ，如何判断它是否有鞍点呢？为了回答这一问题，先引入下面的极大极小原理。
具有稳定解的零和问题是一类特别简单的对策问题，它所对应的赢得矩阵存在鞍点，任一局中人都不可能通过自己单方面的努力来改进结果。然而，在实际遇到的零和对策中更典型的是
的情况。由于矩阵中不存在鞍点，此时在只使用纯策略的范围内，对策问题无解，下面我们引进零和对策的混合策略。
设局中人Ⅰ用概率 选用策略 ，局中人Ⅱ用概率 选用策略 ， ，记 ，则局中人Ⅰ的期望赢得为 ，简单记：
使用纯策略的对策问题（具有稳定解的对策问题）可以看成使用混合策略的对策问题的特殊情况，相当于以概率 1 选取其中某一策略，以概率 0 选取其余策略。
解：双方可选择的策略集分别是：
轰炸机Ⅰ装，Ⅱ护航。
轰炸机Ⅱ装，Ⅰ护航。
赢得矩阵 ， 为 方取策略 而 方取策略 时，轰炸机轰炸 方指挥部的概率，由题意可计算出：
即赢得矩阵：
易求得 。由于 ，矩阵 不存在鞍点，应当求最佳混合策略。
现设 以概率 取策略 ，以概率 取策略 ； 以概率 取策略 ，以概率 取策略 。
记零和对策 的解集为 ，下面三个定理是关于对策解集性质的主要结果：
首先指出你的一个错误，“（1）每天总工作10天（包括给自己家干活在内）”是每人吧？~~~~~~~~~
求解的是每人每日的日工资咯？（我是这么理解的）。~~~~
制作一个表格：
木工 电工 油漆工
木工 2 4 4
电工 1 5 4
油漆工 6 1 3
对应的如果是一个n的就是：（aij为竖行Ai到Aj那里工作的天数）
A1 A2 A3.....Ai....An
A1 a11 a12 a13....a1i....a1n
A2 a21 a22 a23....a2i....a2n
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Ai ...........................
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
An................................
约束条件：1.Ai1到Ain的和等于10咯。根据你题目的例子，好像aij是已知的呢！那么这个条件似乎只能用于检验啦。。
（设每个“工”日工资为Wi）2.10Wi=E(aik)*Wk (E是那个求和符号哦。k是求和符号下面的那个自变量咯。。（不能怪我，这里不支持公式的。））
（对于上面的约束条件2我说明一下，我设他给自己干活也是得收费的，那么自己给自己干活也是有报酬的，这样自己那一块aii就收支平衡了，也就是上面求和的时候可以不用剔除这一项aii啦。）
理清之后应该会发现就是一个n自变量的一阶方程组吧。。应该也是有n个方程。。理论上来说应该可以解出来ho。。。
（o~o)天！！好多空格之类的都被变换掉了，哎，百度知道啊！
什么是数学建模？
在几年前有这么一个“钓鱼”用的段子，说中国与美国学生一起参加数学建模大赛，结束后中国学生拿起东西就走了，而美国学生们则默默地将桌子上的模型收拾好带走才离开。
虽然当年钓了不少鱼，是一段有趣的故事，但是今天的重点不在这里，我们需要的是数学建模到底建了个什么“模”？
所谓的“建模”指的就是当我们面对复杂问题时，通过层层分析，将它简化成一些逻辑明确，便于分析理解，特别是可以方便计算的方法。
举个数学建模的例子吧
举个例子，这一次的冠状感染人数预期就是一个典型的数学建模。当然了我们现在还不可能知道确切的感染数据，但一切也并非完全无迹可循，我们已经掌握了很多数据，比如说确认感染的增长速度，武汉市的总人口，武汉与外界的人口流动数据，与患者接触后被传染的大致比例等……
通过这些数据，我们就可以简单地创造一个数学模型，例如最早流传的一个可能感染数据就是按武汉出国并被确定的人口计算的。具体数据已经找不到了，为了方便演示我可以大概模拟一下（就是说下面的数据都是我瞎编的）。
当时这个媒体的思路是有3名武汉出国旅客被确诊，这几日每天从武汉机场乘机出国的旅客大约有4000人，从发现疫情到当天总计有15天，其中武汉本地人占约50%，也就是说3000×15×50%=30000个武汉人中有3人感染，感染率0.01%。已知武汉人口有约1400万，也就是说大约有14000000×0.01%=1400人已经受到感染。
这就是一个典型的用数学模型分析问题的例子，虽然这个数字离真实数字差的还很远，但是在当时有限的条件下，比其它任何瞎猜的数字都要有说服力。
牛顿力学其实是一个数学模型
现在让我们再回头看看中学物理中学习的牛顿力学，若要仔细较真的话，其实它有很多算不上正确的结论。且不说在近光束运动下完全失效的问题，就是在低速世界中也有很多细细一想就觉得不对的地方。
比如说在初中的物理题中物体都绝对刚体，用来传递力的杠杆从来不会有“形变”的概念，就算翘起地球也能说得通。摩擦力只有滑动与滚动两种，摩擦系数是一个常量，无论速度如何都不会改变。但我们知道摩擦会产生热，温度会很明显地改变材料的物理的性质。
▲摩擦让物体彻底变性的例子，这是一个火柴头
这样的世界被称为“线性”的世界，所有的数据都是可期的。如果说你的鞋底摩擦系数是10，1的压力会带来10牛的静摩擦力，那么放一个月亮在你的脚背上得到的自然就是10倍月亮重力：7.2×10^24牛的静摩擦力。
但这是可能的吗？当然不是！当鞋底受到的压力大于某一个值时就会被压坏，这才是真实的世界，这叫“非线性”。不仅如此，在量子力学出现后，我们认识到这个世界甚至还是不连续的。在宏观世界可以精确描述物体运动的函数只能改为相当模糊的概率函数。
▲看似光滑平直的空间在放大足够时看起来也是不断涌动的
所以说牛顿力学只是一个力学模型，而且是一个有着严格限制的力学模型，它其中的所有概念与定义都与真理无关（虽然在当时牛顿本人认为是找到了真理，因为他认为真理就藏在数学中）。但是并没有关系，我们依然可以学习它，因为牛顿力学的受力分析可以为我们解决很多简单情况下的物理问题，得到相对准确的结果，而这些数字拥有实用价值是毋庸质疑的。
▲《自然哲学的数学原理》可见牛顿对数学的推崇
一切物理研究都是模型
相信你可能也想到了，爱因斯坦的相对论，横扫20世纪的量子力学是真理吗？当然也不是，可以非常肯定地说，它们都是物理模型，只不过它们比以往的任何一种模型都更接近真相，通过相对论计算出的天文数据可以精确到小数点后十几位，与观测高度吻合。所以我们认为相对论是正确的，但我们并不能确定在未来是否会出现一种全新的理论，可以得出比相对论更精确，更接近真相的结果，一如相对论包容牛顿力学时那样。
最后总结一下开始的问题吧——为什么力只有三要素？因为这是牛顿力学模型下简化到不能再简化的要素，没有这仨就无法进行受力分析了。如果要非常精确地计算，那完全可以搞出100个要素甚至是1000个要素。比如“流体力学”，因为涉及的参数过多，可能永远都不会出现一个“万能公式”，飞机的设计至今依然要依赖风洞实验。
摘 要：在中学数学教学中培养数学建模意识是中学数学教学改革的一个方向。本文论述了培养数学建模意识的途径，并举例说明了数学建模在转变学生学习方式、培养学生应用数学的意识、创新能力的意义，以使学生体验数学在解决实际问题中的作用，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。
关键词：数学建模 应用意识 创新能力
一、在中学数学教学中培养建模意识的实证分析
1. 可能性证明
在日常生活中，有许多问题如抵押买房、企业利润最大化、购物、旅游及生产的方案选择问题等，都可能利用中学数学基础知识，建立初等数学模型来加以解决。下面以一个具体的实例说明在中学数学教学中数学建模的应用及培养数学建模意识的可能性。
例：怎样设计易拉罐的高和底面半径的比例，使易拉罐用料最省。
模型设：为简化讨论，我们把它设为一个正圆柱体，且上底的厚度为其它部分厚度的3倍（由于易拉罐上底的强度必须要大一点才能保证打开）。其相应的变量和参数为：
v――罐装饮料的体积
r――半径
b――制罐铝材的厚度
p――制造工艺上必须要求的折边长度
h――圆柱高
乎与上述计算完全一致！还可以把折边这一因素考虑进去，然后得到相应的数学模型，并求解之，最后看看与实际的符合程度如何。
模型推广：本问题中我们的研究对象仅仅是易拉罐，实际上生活中还有很多类似易拉罐的问题，如啤酒瓶、装洗发水的瓶子、口杯等，因此我们完全可以将此模型推广到容积为V（V可任取）的任意形状的容器，甚至可以推广到质量为M的任意形状的罐体。由此可见，对于类似易拉罐的情况，该模型具有极为广泛的应用性，我们都可以通过该模型求得很多图形的最优设计。
2. 必要性分析
美国数学教育家熊菲尔德有一个很值得思考的数学测试题：“一艘船上载了75头牛，32头羊，问船长几岁?”这样一道题目居然有学生做出来了：75-32=43岁。为什么会有这样可笑的答案出现呢？我想原因在于如今考试几乎成了学生学习数学的唯一目的，所学的数学知识与日常生活以及其他学科知识联系太少，使学生缺乏将数学应用于实际的意识。
在近几届国际数学教育大会中，“问题解决、模型化和应用”被列入了几个主要的研究问题之一。在我国普通高中新的数学教学大纲中，也已明确提出要“切实培养学生解决实际问题的能力”，要求“增强用数学的意识，能初步运用数学模型解决实际问题，逐步学会把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、运算、检验，使问题得到解决”。因而，现在的中学数学教学也正从过去纯粹的数学理论教学逐渐转变为贴近实际生活的应用数学教学，而数学建模正是数学应用的源泉，是新课程改革的突破口，因此在中学数学教学中培养学生数学建模意识已势在必行。
二、掌握数学建模方法，培养数学建模意识
1. 数学建模与数学建模方法
所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式、算法、表格、图示等。数学中的许多基本概念，大都是以各自相应的现实原型作为背景加以抽象出来的。许多数学公式、方程式、定理等，都是一些具体的数学模型。例如，指数函数就是一个数学模型，很多数学问题甚至实际问题都可以转化为指数函数来解决。而通过对问题数学化、构建模型、求解检验使问题获得解决的方法称之为数学模型方法。具体地讲，数学模型方法的操作程序大致上为：
2. 培养数学建模意识
怎样把一个生产、生活中的实际问题，经过适当的设、加工、抽象表达成一个数学问题――数学建模，进而选择合适的正确的数学方法来求解，这是应用数学知识解决实际问题的关键所在。这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力。当然学生这种能力的获得也不是一朝一夕的事情，这需要把数学建模意识贯穿在教学的始终，也就是要不断地引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题的目的，使数学建模成为学生思考问题的方法和习惯。
三、培养数学建模意识的基本途径
1. 结合学生的实际水平，分层次逐步推进。在中学数学教学活动中，教师应根据可接受性教学原则，结合学生的认知水平，选择贴近学生实际的问题，培养学生对数学建模的兴趣，发展学生数学应用能力。同时，我们的数学建模教学不应拘泥于形式，我们应选择紧贴生活及社会实际的典型问题，从课本中挖掘应用实例，深入分析，逐渐渗透数学建模思想，使学生从过去的“听数学”转变到“做数学、用数学”。
2. 充分挖掘教材，将数学模型生活化。数学教学的改革，更加注重数学的应用性，强调从生活实际出发，以学生知识为出发背景，提取出数学问题。因此，我们可以利用现行的数学教材，向学生介绍一些常用的、典型的基本数学模型，如函数模型、方程模型、不等式模型、数列模型、概率模型、几何模型、几何曲线模型等。如在指数函数的教学中，我们可以将y= 与细菌繁殖、人口增长、物质衰变、地震强度等相联系，随自变量x算术地增长a、2a、3a、…、na、…，因变量y几何地增长 那么它们之间存在着指数函数关系 。总之，我们要在数学教学中不断渗透数学建模的思想，同时让学生初步学会将数学模型生活化，体会到数学模型的实用性，从而激发学生去应用数学建模的兴趣；同时，我们在教学中应该增强更具广泛应用性部分内容的数学，如导数、统计、概率、线性规划、系统分析与决策。
3. 理论联系实际，将生活问题数学模型化。在理论联系实际时，我们应结合课堂教学和学生的实际水平，注重联系那些既对学生走向社会适应未来生活有所帮助，又对学生的智力训练有价值的内容。比如高三的导数知识，在生活中的应用例子随处可见。如“在公园里当游船划到岸边时服务员用绳子拉船靠向岸边时，问船的速度及加速度与绳速的关系怎样”这种“拉船靠岸”的问题，再如学校中的食堂存粮最优问题等等都是导数应用的极好例子。
结束语
数学建模是体现数学解决问题和数学思维过程的最好的载体之一。在教学中，应坚持学生为主体，发挥学生的主观能动性，让学生在学习过程中自觉地构建数学建模意识，从单纯的解题技巧和证明中解放出来，让学生学习真正的数学，认识数学是活生生的数学，是与生活密切相关的。从而让数学建模意识顺着知识的活水，注入学生的肌肤，化为信念，成为学生终身享用的财富。只有这样，才能使我们的数学教育真正从应试教育走上素质教育的正确轨道。
参考文献：
［1］晏美林.培养数学建模意识发展学生创新思维［J］.江西教育学院学报(综合)，2005 Vol.26：52-55.
［2］和惠芬.构建建模意识培养创新能力［J］.理科教学探索，2006，(4).
［3］李尚志.教学重在培养学生的创新活力［J］.中国高等教育，2004，(6).
［4］王启东.数学教学中的创新教育［J］.数学通报，2001，(2).
［5］谢兆鸿，范正森.数学建模技术［M］.北京：中国水利水电出版社，2003.
［6］普通高中数学课程标准(实验稿)［M］.人民教育出版社.2003.4.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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不知道LZ说的具体是个什么意思，三个因素时还是可以将其中一个因素看做自变量，你也可以分别将三个因素看做自变量，分三种情况讨论
另外三个因素之间一定存在一系列的相互关系制约着因素的数量或者指标值；
类似的，比如一个典型的捕食者模型，其实其中食物x和捕食者y二者间，也并非食物x就是自变量，这个模型中存在着二者的制约关系，而两者都可看作是关于时间参变量t的函数，模型需要有初值，通过制约关系——即微分方程，达到某种平衡。
如果是三个因素，可能的话也可以看做是关于某个参变量的函数，通过微分方程组构造数学模型，但比上述例子要复杂，可能还要使用偏微分。
祝你找到好的方法
