如果在每个方向都切n刀：
（1）三面黑由8个，在8个顶点上，
（2）两面黑在每条棱的中间部分，有（n-1)×12（个）
（3）一面黑在每个面中间，有（n-1)?×6（个）
（4）全白在正方体中间，有（n-1)?（个）
（5）全部有（n+1)?（个）。
举例：切3刀，
（1）8个
（2）24（个）
（3）24（个）
（4）8（个）
（5）64（个）。
正方体的平凑需要满足n的3次幂，举例一个正方体就是1的3次，8个一起拼出来2的三次，3的3次就是27，4的3次64，5的3次125，所以可以最多平成一个4x4x4的，还剩100-64=36
（1）准备顶点属性缓冲区
（2）计算mvp矩阵
（3）将数据传给顶点着色器以及片段着色器来画图
齐次坐标（x，y，z，w），它是为了兼容点的平移操作，使得我们可以用同一个公式对点和方向作运算。
（x，y，z，w）同时除于w得到坐标（x/w，y/w，x/w）
齐次坐标主要是兼容点的平移操作，在空间中平移方向是没有意义的：
把点（x，y）旋转到点（x'，y'）
也就是矩阵乘法的顺序问题，设旋转矩阵为R，平移矩阵为T
在xy坐标系中，有一点P(x0，y0)，表示的是：点P(x0，y0)相对于xy坐标系原点的值为x0和y0。
转换到x'y'坐标系之后，变为P(x0'，y0')，表示的是：点P(x0'，y0')相对于x'y'坐标系原点的值为x0'和y0'
它们之间的相对位置时不变的，只是换了一种表示方法。
就比如：小明说，杯子在我的右边；小东说，杯子在我的左边；是一样的道理。这里就是把（杯子在我右边）转换为（杯子在我左边）
（1）为了将对象描述从xy坐标变换到x'y'坐标，必须建立把x'y'轴叠加到xy轴的变换，这需要分两步进行：
所以，就是先平移后旋转：M = R * T
举例：设x'轴与x轴之间的夹角为45度，x'y'系统的坐标原点为（2，2），将点P（1，1）变换到x'y'系统上，由几何关系可以得到变换后P点坐标的值为（-√2，0）
（2）任何旋转矩阵的元素可以表示为一组正交单位向量的元素
旋转矩阵的逆矩阵可以通过矩阵转置，或者将旋转角取负值来获得
（1）轴角：绕一个给定轴K（x，y，z）（向量）旋转给定角度。也就是原定坐标轴{A}绕给定向量K（x，y，z）旋转给定角度后，得到坐标系{B}
注意： 向量K（x，y，z）为单位向量
它的旋转矩阵为：
（2）也可以理解为：一个向量V绕着向量K旋转角，得到向量V(rot)
公式的推导：详情请见： s://.bilibili/video/BV1h7411c7zK?from=search&seid=5987430286330119296
推导过程（TODO）
涉及到：欧拉角，四元数，旋转矩阵，轴角之间的关系
由上图可以知道：
将物体坐标变换为世界坐标：
将世界坐标变换为眼睛坐标
将眼睛坐标变换为裁剪坐标
将一个上下坐标为t（top）和b（bottom），前后坐标为n（near）和f（far），左右坐标为l（left）和r（right）的正方体：
（x，y，z，1）和（kx，ky，kz，k!=0z）和（xz，yz，z^2，z!=0）在三维空间中，这些都代表的是同一个点（x，y，z）
例如：（1，0，0，1）和（2，0，0，2）都代表着点（1，0，0）
将左边的梯形体压缩成右边的长方体
注意：n和f是不变的，所以，可以得出：
（1）对于任何在n平面上的点，其坐标的z分量不变
（2）对于任何在f平面上的点，其坐标的z分量不变
从下图可以看出，（x，y，z）坐标和（x'，y'，z'）坐标之间存在相似三角形关系
投影矩阵就是先做投影，把梯形体压缩成一个长方体；然后做正交投影，把这个正方体，放到原点，并压缩成边长为2（-1，1）的正方体
OpenGL的为啥为负的？（TODO）
给出可视角度fovY，nearZ和长宽比aspect（16:9，或者4:3等等），就可以求出长方体的上下左右前后的坐标了
t（top），b（bottom）= - t，r（right），l（left）= -r，n（nearZ），f（farZ）
然后代入投影矩阵公式，就可以得出投影矩阵的值了。
作为一名为他人授业解惑的教育工作者，通常需要准备好一份说课稿，借助说课稿我们可以快速提升自己的教学能力。那么应当如何写说课稿呢？下面是我为大家收集的《生活中的立体图形》说课稿范文（通用5篇），欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《生活中的立体图形》说课稿1一．说 教材分析
教材，即教学素材，一个供师生共同探究的素材，一个构建学生知识体系的素材，一个以培养学生实践能力与创新意识为终极目标的素材。本节探究内容取自华东师大版七年级（上）第四章第一节，探究对象是生活中的常见几何体，探究的重点是几何体的分类，难点为分类标准的确立。通过系列探究活动，使学生由小学对图形世界的感性认识过渡到感性与理性认识相融，从而开启学生认识与探究丰富多彩的图形世界的大门。
二．说 目标分析
教学目标，揭示了教学过程应是使学生由不知到认知到乐知的升华过程，是培养创造性人才的指南。根据学生的现有认知水平——直观感知、无意注意为主，空间观念较薄弱，结合现有知识结构——小学及生活中大量几何图形的直观表象，依据《课程目标》——本阶段的学生应初步会运用数学的思维方式去观察、分析现实生活，体会数学与人类生活的密切联系，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力，确立本节课的教学目标如下：
1．知识与技能目标：经历直观感知→探索归纳→应用创新的认知过程，探索立体图形的分类，加深对图形的认识与感受。
2．过程与方法目标：通过动手操作、探究思索、交流互动，培养学生的实践能力、协作能力及创新意识。
3．情感与态度目标：体验数学与现实生活的紧密联系，培养学生的参与意识和集体主义观念，激发学生学习数学的兴趣与热情。
三．说 教学方法分析
教学方法是我们实现教学目标的催化剂，好的教学方法常常使我们事半功倍。在实施《课程标准》的过程中，教师应成为学生学习的引导者、合作者、促进者，积极探索新的教学方式，积极引导学生学习方式的转变，使学生成为学习的主人。
因此，我将本节课的教学方法确立为：
①学法：探究学习，在实际生活背景中去探究学习；合作学习，在实践交流中合作学习；
②教法：情景式，提供丰富的图形素材引导学习；合作式，在师生的平等交流中评价学习；开放式，在开放式教学中升华学习。
四．说 教学程序分析
教学程序是教学目标的体现过程，是教法学法的实施过程，是教学理念的展现过程，是使知识与能力在现实背景中自然呈现的过程。结合本节的教学内容及重难点现对教学程序做一分析。
欣赏感知
设计
实物及多媒体展示生活中丰富多彩的图形世界，同时提出问题，引导学生用数学眼光观察思考。
理念
直观而又丰富多彩的素材能使学生由无意注意到有意注意，勾起学生对现实世界中的已有知识的回忆与联想，激发学习兴趣与探究热情。
模型分拆
设计
学生将几何模型进行分拆，感知复杂几何体由简单几何体构成。
理念
建立模型是我们研究现实生活问题的重要方法之一，把直观形象的模型作为学生探究的素材，有利于学生对几何体由直观认识过渡到理性认识。
分类探究
设计
1．分类尝试
2．标准讨论
3．分类归纳
4．动手操作
理念
让学生经历几何体分类的过程，改变学习方式，倡导个性化学习，使学生真正成为学习的主体，进一步激发学习与探究的热情，同时注重动手操作在学生的知识构建中的作用。
操作探索
设计
1．情景制作
2．模型制作
3．创新制作
理念
做中学是新课标下的重要学习方式，做——有利于学生亲身经历，有利于把知识与实践相结合，有利于美的熏陶和情感交流，有利于创造性的学习。
评价展望
设计
同学们，历史上著名的数学家欧拉也像我们一样，在对几何体观察探究的过程中得出了著名的欧拉公式（顶点数+面数-棱数=2）。以后，我们将沿着欧拉的足迹，通过研究点、线、面……走进丰富多彩的几何世界。
理念
进行鼓励性评价，是学生克服学习困难的法宝，是学生树立自信心的最佳途径，是激发学生探究知识奥秘的动力……
五．说 教学评价分析
根据《课程标准》的评价目的：激励学生的学习热情，注重过程评价，发现问题与解决问题评价，本节课的评价应以激励学生的学习兴趣，促进学生的知识与能力的发展为目的。鼓励式评价为主，辅之以过程评价，用教师评价、学生评价、自我评价，课堂观摩等方式灵活处理。
《生活中的立体图形》说课稿2一、说 教材
1、教材的地位和作用
《生活中的立体图形》是(华师大版)七年级数学上册第四章的第一节的内容。它以日常生活中随处可见的物体为研究对象，具有现实性。并在编排方面巧妙地从学生所熟悉的物体出发引出本节课所要学习的立体图形，丰富学生对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，充分体现了数学来源于生活的道理。本节课从观察我们身边的立体图形入手，勾勒出图形的形状，利用类比的方法找出图形间的区别与联系。它既是本章知识的基础，又是几何学习的开端，更是对学生小学已有的立体图形知识的提高和完善，同时也为今后几何学习做了很好的铺垫，起着承上启下的作用。
2、教学目标
根据本节课教材的内容，以及考虑到学生已有的认知结构和心理特征，特制定如下教学目标：
知识与技能目标：
通过本节课的学习，让学生直观认识规则的`立体图形，正确识别各类立体图形。
过程与方法目标：
通过系列活动，培养学生的动手能力、探索发现能力、语言表达能力、总结归纳能力及空间想象能力。
情感与态度目标：
用形式多样的教学方法来激发学生对美好生活的热爱之情，体验立体图形的抽象和形成过程，体验数学美，激发学生学习数学的兴趣。
3教学重难点
重点：由于本节内容是对学生小学已有的立体图形知识的提高和完善，同时结合新课程改革充分体现数学来源于生活的要求，确定本课重点为：
①、感受图形世界的丰富多彩。
②、认识现实背景中的圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球。
难点：柱体和锥体是学生日常生活中常见的图形，像电冰箱、蛋筒冰淇淋等，学生很容易识别，但要找出它们之间的联系与区别，对七年级的学生来讲，难度较大，所以根据学生现有的知识水平与认知规律，确定本课难点为：
认识圆柱、圆锥、棱柱、棱锥间的区别与联系，并能用自己的语言描述它们的某些特征。培养学生空间感的形成。
二、说 学法分析(说学法)
1学生情况
七年级的学生刚刚从小学升入初中，面对新学校、新环境，一切都充满着好奇，充满着幻想，具有一定的探索精神和强烈的自我表现欲望。他们在小学已经学过简单的立体图形，对立体图形已有一定的认识，但空间想象能力不强。对正确识别各类立体图形还存在着一定的难度。
2学法指导
通过几年来的新课改教学体验，我深深感受到合作探索不但可以增强集体意识和团队合作精神，还可以激发学生的学习兴趣，让不同程度的学生都能得到充分的发展。所以本节课教学中我准备用小组合作的学习方式，让学生遵循“观察——猜想——验证——归纳——反馈——实践”的主线进行学习。
三、说教法
新课程改革体现了“重结论，更重过程”的思想。因此在讲授本节课时，我用以下方法进行教学：
1直观教学法：以观看生活中立体图形为开端，让学生们在欣赏这些形态各异立体图形同时，感受其中蕴涵的数学图形的美，提升学生的审美意识。
2情景教学法：创设丰富的情境，引发学生自主探究，亲自感受，让学生在视听结合的环境中激发学习热情，加深体验，将数学与中涉及到的地理、历史、美术等学科进行整合。
3比较教学法：利用比较的方法，认识各种几何体的共性和各自的特点。
《生活中的立体图形》说课稿3说 教学目标
1、在具体情境中认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球等几何体，能用语言描述它们的某些特征，并能对它们进行简单的分类。
2、培养观察、抽象、归纳、概括、判断等思维能力以及分类的数学思想，培养语言表述能力。
3、经历从现实世界中抽象出几何图形的过程，感受图形世界的丰富多彩，激发对空间与图形的学习兴趣，培养积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识。
说 教学重点：
常见几何体的识别与分类。
说 教学难点：
常见几何体的分类以及用语言描述它们的某些特征。
说 教具准备
1、多媒体教学。
2、圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球等几何体的实物和模型。
说 教学过程
一、创设情境，导入新课。
师：同学们，请打开课本首页，你看到了什么?
一幅现代化城市建筑群的画面，汇总本章的主要图形，运用多媒体演示，向学生们展示丰富的图形世界，给他们带来直观感受，让他们观察、思考、判断，体会图形世界的现实性和艺术性，激发学生的求知欲和学数学的兴趣。
师：在画面中，你能发现数学的影子吗?
分组讨论交流，引导学生观察、抽象、归纳，学会把现实情境中的物体抽象成几何图形，感悟知识的生成与积累。多媒体配合演示。
引入课题，板书：§1、1生活中的立体图形(一)
二、直观感知，识别图形。
1、出示常见的几何体实物，让学生识别：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球。(板书：常见几何体的名称)特别指出棱柱有直棱柱和斜棱柱，本书只讨论直棱柱(简称棱柱)。
2、请同学们举出一些几何体的实例。阅读并观察课本第2页的彩图，寻找画面中含有哪些熟悉的几何体。
3、自学课本第3页的内容，然后分组讨论，回答课本中的四个问题。
从熟悉的生活中识别几何体，不仅帮助学生理解，而且让他们感受到生活中处处有数学。
三、实践探究，明确强化。
1、做一做：用学具中的橡皮泥、几何体的压模器等材料，自制圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球等模型。
学生自由组合，动手操作，培养他们的实践能力和互相协作精神。
2、说一说：观察自己做出的几何体模型，并且用语言描述这些几何体的基本特征。
3、议一议：用自己的语言描述圆柱与圆锥的相同点与不同点以及棱柱与圆柱的相同点与不同点。
培养学生的语言表述能力和分析概括能力，在交流中形成对几何体较全面的认识。
4、试一试：如何把自制的一些几何体分类，谈一谈分类的理由。
(板书：几何体的分类)
让学生主动参与学习活动，交流各自的分类方法，了解数学的分类思想，拓展思维，培养探究能力和创新精神。
四、巩固练习，归纳小结。
1、随堂练习：第6页第1题。
说一说生活中哪些物体的形状类似于棱柱、圆柱、圆锥与球体。
2、游戏：我说你摸。
(1)请出两位学生，其中一位说出某种几何体的特征，另一位闭上眼睛从一堆几何体模型中摸出相应的几何体，然后互换角色继续游戏。
(2)教师说出某种几何体的名称或特征，请学生摸出相应的几何体模型：
a、球;b、锥体;c、柱体;d、几何体所含有的面都是平的;e、几何体所含有的面中，至少有一个面是曲的。
3、小结：今天这节课，你学到了哪些知识?有哪些收获与感受?说出来大家分享。
请学生归纳总结。养成学生学习总结——学习的良好习惯。同时开展互评、师评，让学生学会理解、学会表达、互相合作、共同提高。通过激励评价，让学生初步品尝获得成功的快乐，激起学生的学习热情，提高学生学好数学的自信心。
4、作业：
课本第4页习题1、1
预习：(1)课本第5页～第6页;(2)收集一些常见几何体的实物。
《生活中的立体图形》说课稿4说 教学目标：
在学生已有的知识基础上，通过自己的主动思考，体会点、线、面是构成图形的基本元素，进一步认识常见几何体的某些特征。
说 教学重点：
体会点、线、面是构成图形的基本元素。
说 教学难点：
体会点、线、面之间的关系，知道“点动成线、线动成面、面动成体”的事实。
说 教学方法：
观察法、总结归纳法
说 教学工具：
扇子、笔、常见的立方体
说 准备活动：
回忆上节课学习的常见的几种立体图形：
说 教学过程：
1．通过创设情景引出面和曲面(学生常见的高速公路和海浪)，并由此让学生举出生活中的一些具体的图形例子。
2．拿出具体的模型让学生观察立体图形除了面以外，还有那些组成部分，从而引出线和点，由此让学生得到这样一种认识，图形是由点、线、面构成的。
3．先让学生想象面面相交，线线相交会得到什么？再板书画出，面面相交得到线，线线相交得到点。
4．思考：平面与平面相交得到什么线？曲面与曲面呢？
5．让学生找找具体模型的面和线，顶点，(例如长方体，正方体等)让学生得到面与面相交得到线，线线相交得到点的初步认识，通过笔来演示加深这个认识。
6．通过动画演示，举例下雨，水笼头，以及扇子的展开，几何画板的演示让学生得到点动成线，线动成面，面动成体的初步认识。并通过举例进一步加深这种认识，做课本上相应的习题。
7．练习：课本P7第2题
小结：图形是由点、线、面构成的。点动成线，线动成面，面动成体。
《生活中的立体图形》说课稿5一、说设计思路:
人们生活的空间存在着大量的图形，图形是人们理解自然界和社会现象的绝妙工具，立体图形的学习将使学生能更好地适应生活的空间，同时也给他们带来无穷的直觉源泉。
发展学生的空间观念是学习立体图形的核心目标。而“能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状”是空间观念的重要方面。同时，学生根据已有的生活背景和初步的数学活动经验，从观察生活中的物体开始，通过观察、操作、想像、讨论、交流、推理等大量数学活动，逐步形成自己对空间与图形的认识，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力的发展。
二、说 课程目标：
1、经历从现实世界中抽象出图形的过程，感受图形世界的丰富多彩。
2、在具体情境中认识圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们的某些特征。
3、通过丰富的实例，进一步认识点、线、面，初步感受点、线、面之间的关系。加深对常见几何体特征的认识。
4、通过实例，使学生了解抽象概括的思维方法。
5、通过实例，使学生领悟到数学来源于实践，反过来又作用于实践的辩证原理。激发学生的学习积极性。培养学生积极的情感与态度。
三、说 教材分析：
教材从生活中常见的立体图形入手，让学生在丰富的现实情境中，认识常见几何及点、线、面的一些性质，在主动探究中，体会点、线、面是构成图形的基本元素，从构成图形的基本元素的角度进一步认识常见几何体的某些特征。
四、说 重点难点：
1、“非数学语言”到“数学语言”的转化。
2、体会点、线、面是几何图形的基本元素。
学生分组准备长方体、正方体、圆柱、三棱柱、三棱柱、四棱锥、螺帽、球体各多个。教师准备相应实物体各1个，投影片。
五、说 学前准备：
六、说 教学过程：
（一）创设情境、引入新课
引言：
首先，能认识你们这些新朋友，我感到很荣幸。很高兴今后能和同学们一起愉快合作，遨游数学王国、领略其风，探索其奥秘。同学们，让我们乘上时间的快车，架起理想的风帆，远航吧！让我们打开记忆的闸门，回顾一下以前数学课学习了什么内容吧！
说明：用亲切的语言导入新课，缩短了师生之间的距离，使师生处于平等地位，让学生觉得教师和蔼可亲，从而形成老师是“知无不言，言无不尽”的好朋友的意识，为使学生主动参与课堂活动奠定了感情基础。
学生活动：积极思考并回答问题
老师：鼓励引导大家大胆发言，相互补充，最后归纳为：数的计算、简易方程、几何知识、统计知识四大部分。
（二）讲授新课
老师：请大家看投影（展示图1—1）
老师：观察图中有几种几何体。
学生活动：观察图形，从中找出答案
说明：展示、形象直观、容易激发学生的学习兴趣，
使学生养成发现问题，解决问题的创造性思维习惯。
老师：请大家找出生活中与长方形体、正方体类似的物体
学生活动：（举出实例）
老师：请同学们找出生活中与圆柱、圆锥类似的物体，并描述圆柱与圆锥的相同点与不同点。
学生活动：（举出实例，分组讨论，用自己的语言描述圆柱与圆锥的特征）
老师：请同学们找出上图中与地球、笔筒类似的物体。
学生活动：（举出实例）
老师：出示教具实物体。
学生活动：（让学生从中闭眼摸出某种几何体，边摸边用语言描述其特征。）
老师：同学们再讨论一下，能否把自己的语言转化为数学语言。
学生活动：分小组讨论。
说明：真正体现了“以生为本”。让学生在主动探究中发现知识，充分发挥了学生的主体作用和教师的主导作用，课堂气氛活跃，教师教得轻松，学生学得愉快。
老师：请同学们当小工程师、合作将大家准备的实物摆成一些物体造型，注意要摆放得稳固一点，不要一碰就倒塌了。比一比，看哪组摆的最好。
说明：从学生喜爱的活动之手，学中玩，玩中学，特别强调稳固，为建立平面概念作铺垫，独具匠心。
学生活动：（动手操作）
老师：（巡回指导，不停地使用欣赏与赞叹的语言、语气,对学生的“作品”作激励性评价）
老师：在活动中，大家一定遇到了不少困难吧，谁能说说吗？
学生：球最不好放，总是翻来翻去，放不稳。
老师：谁能说出长方体、正方体、圆柱、圆锥、三棱柱、四棱柱都可以放稳，就是球体放不稳的原因吗？
学生：因为球面不是平面。
老师：其它物体全是平面吗？
学生：虽然圆柱、圆锥的侧面是曲面，但它们的底面都是平面。
老师：你真聪明。
说明：让学生自己感受平面、曲面，不露雕琢痕迹，主动建构知识，水到渠成。
老师：我这些物品都是从学校保管室借来的，管理员要求我们还回去时分类归还。我这里有几只纸箱子，请哪位同学上台帮忙老师整理一下并将整理结果及理由告诉同学们好不好？
学生：好。
学生活动（指名学生上台帮助整理）其余学生整理每组所准备的学具。
老师：这位同学分得很好，是按组成面的曲或平来分类的。
说明：学生最乐意为老师办事，真实合理的情境为学生的活动提供了背景和动力。
老师：大家同意他的分类方法吗？你还有没有其它的分类方法？
学生：我与他的分类方法不同，我是这样分类的，把正方体、长方体、圆柱、三棱柱、四棱柱分为一类，它们是柱体，因为正方体、长方体都是四棱柱。圆锥和球各分一类。
老师：你爱动脑筋，真能干。我们掌声鼓舞他好吗？
学生：（掌声祝贺）
（三）尝试反馈、巩固练习
老师：请同学们选择一种是圆柱体的物体，画出它的示意图。
学生活动：一人板书演示，其他学生写在练习本上。
老师：三棱柱有9条棱，6个顶点，5个面，三棱锥有6条，4个顶点，4个面；四棱柱有12条棱，8个顶点、6个面；四棱锥有8条棱，5个顶点，5个面。那么能不能组成一个有24条棱、10个面、15顶点的棱柱或棱锥？
学生活动：（分组讨论，得出结论：不可能。）
(四)变式训练，培养能力
老师：如图1—2所示，直角三个形ABC的C点在直线L上，并且BC垂直于L，若ABC绕着直线L旋转可以得到什么样的立体图形，请你用语言描述。
老师提出问题：一个四棱柱被一刀切去一部分，试举例说明剩下的部分是否可能还是四棱柱？
老师：请同学们看投影。
（五）课堂作业设计：
（出示投影，学生只写答案，不抄题，老师指名学生回答，集体订正）
1、判断下面的说法是否正确，正确的画“√”，错误的“×”
（1）柱体的上、下两个面一样大。（）
（2）圆锥是多面体。（）
（3）棱柱的底面是四边形。（）
（4）圆柱、圆锥的底面都是圆。（）
2、课本第7页习题1、2
（六）课堂小结
（学生归纳叙述，教师板书）
1、构成几何图形的基本元素为：点、线、面
2、圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、球体的直观区别。
五下数学第三单元复习提纲 1.我们周围许多物体的形状都是长方体或正方体（正方体也叫立方体）。 ※举例：长方体：砖块、箱子?/正方体：魔方、骰子? 2. （1）长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。在一个长方体中，相对的2个面完全相同，相对的4条棱长度相等。长方体有12条棱，8个顶点。 （2）相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 3.正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。正方体有6个面，12条棱，8个顶点，6个面都是正方形，面积都相等，12条棱长度都相等。 4. 正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。我们可以用上图来表示长方体和正方体的关系。 5.长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 ※举例：表面积即为长、正方体展开图总面积。 6.日常生活和生产中，经常需要计算一些长方体或正方体的表面积。 ※举例：粉刷房间、贴瓷砖、包装礼盒、油漆水管、制作玻璃鱼缸（求面的大小）? 注意：求几个面。 7.求长方体、正方体表面积的公式： S长方体=（长×宽+长×高+宽×高）×2 S正方体=棱长×棱长×6 =2（a·b+a·h+b·h） =6a2 8.物体所占空间的大小叫做物体的体积。 ※举例：手指尖约占了1立方厘米的空间，即它的体积约为1立方厘米。 9.计量体积要用体积单位，常用的体积单位有：立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3 、dm3、m3。※举例：一个粉笔盒的体积约为1 dm3 。 10. 求长方体、正方体体积的公式： V长方体=长×宽×高 V正方体=棱长3 =a b h =a3 =底面积×高 =底面积×高 11.在工程上，“1m3 ”的土、沙、石等均简称“1方”。 ※举例：建一游泳池，约要挖土6000方。 12.体积单位间的进率：1dm3 =1000 cm3 1m3 =1000 dm3 ※举例：1.36 dm3 =1360 cm3 4.573m3 =4573 dm 3 13.箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 ※举例：一个汽车油箱约能容纳40L油，即它的容积为40L。 14.计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。 ※举例：一个烧杯约能装水500ml。 15.容积单位间及容积单位和体积单位间的进率： 1L=1000ml 1L=1dm3 1ml=1cm3 ※举例：520ml=0.52L 5.67L=5.67 dm3 =5670cm 3 16.形状不规则的物体可以用排水法求得它们的体积。 ※举例：一个烧杯中原有水200毫升，放入西红柿后水位上升至350毫升处，则西红柿的体积就是 水面上升的那部分水的体积：350-200=150（ml）=150（cm3
如下图所示：向左转|向右转
一. 用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正方体。侧面和底面均为正方形的直平行六面体叫正方体，即棱长都相等的六面体，又称“立方体”、“正六面体”。正方体是特殊的长方体。正方体的体积(或叫做正方体的容积）=棱长×棱长×棱长；设一个正方体的棱长为a，则它的体积为：V=a×a×a或等于a?。
二. 特征
1〕正方体有8个顶点；
2〕正方体有12条棱，且每条棱长度相等。
3）正方体相邻的两条棱互相垂直。
4）正方体的体对角线：
三. 表面积
因为6个面全部相等，所以正方体的表面积=一个面的面积×6=棱长×棱长×6
设一个正方体的棱长为a，则它的表面积S：S=6（a?）
立体几何图形：从实物中抽象出来的各种图形，统称为几何图形，几何图形是数学研究的主要对象之一。有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形。点动成线，线动成面，面动成体。即由面围成体，看一个体最多看到立体图形实物三个面。常见立体几何图形及性质:①正方体:有8个顶点，6个面。每个面面积相等（或每个面都有正方形组成）。有12条棱，每条棱长的长度都相等。（正方体是特殊的长方体）②长方体:有8个顶点，6个面。每个面都由长方形或相对的一组正方形组成。有12条棱，相对的4条棱的棱长相等。③圆柱:上下两个面为大小相同的圆形。有一个曲面叫侧面。展开后为长方形或正方形或平行四边形。有无数条高，这些高的长度都相等。④圆锥:有1个顶点，1个曲面，一个底面。展开后为扇形。只有1条高。四面体有1个顶点，四面六条棱高。⑤直三棱柱：三条侧棱切平行，上表面和下表面是平行且全等的三角形。⑥球：球是生活中最常见的图形之一，例如篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体。常见的立体几何图形视图：几何图形图形长方体正方体圆锥圆柱圆锥球
平面只有长宽，立体的有长宽高。
1、平面图形
指的是如直线、射线、角、三角形、平行四边形、梯形和圆都是几何图形，这些图形所表示的各个部分都在同一平面内，称为平面图形。
圆是由曲线围成的封闭图形，而其他由线段围成的封闭图形叫做多边形(polygon)。
举例
例如:有一组对边平行的四边形一定是平面图形。(两条平行线确定一个平面)
平面图形的大小,叫做它们的面积
点的形成是线，线的形成是面，面的形成是体。
常用公式
长方形?S=ab C=(a+b)×2
正方形?S=a? 或对角线×对角线÷2 C=4a
平行四边形?S=ah
三角形?S=ah÷2
梯形?S=(a+b)×h÷2
圆形?S=πrr C=πd
椭圆?S=πrr
平面图形
名称 符号?周长C和面积S
正方形 a-边长 C=4a
S=a2
长方形 a和b-边长 C=2(a+b)
S=ab
三角形 a,b,c-三边长
h-a边上的高
s-周长的一半
A,B,C-内角
其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2
=ab/2·sinC
=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
=a2sinBsinC/(2sinA)
四边形 d,D-对角线长
α-对角线夹角?S=dD/2·sinα
平行四边形 a,b-边长
h-a边的高
α-两边夹角 S=ah
=absinα
菱形?a-边长
α-夹角
D-长对角线长
d-短对角线长 S=Dd/2=a2sinα
梯形 a和b-上、下底长
h-高
m-中位线长 S=(a+b)h/2 =mh
圆 r-半径
d-直径 C=πd=2πr
S=πr2
=πd2/4
扇形 r-扇形半径
a-圆心角度数
C=2r+2πr×(a/360)
S=πr2×(a/360)
弓形 l-弧长
b-弦长
h-矢高
r-半径
α-圆心角的度数 S=r2/2·(πα/180-sinα)
=r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2
=παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2
=r(l-b)/2 + bh/2
≈2bh/3
圆环 R-外圆半径
r-内圆半径
D-外圆直径
d-内圆直径 S=π(R2-r2)
=π(D2-d2)/4
椭圆 D-长轴
d-短轴 S=πDd/4
立方图形
名称 符号 面积S和体积V
正方体 a-边长 S=6a2
V=a3
长方体 a-长
b-宽
c-高 S=2(ab+ac+bc)
V=abc
棱柱?S-底面积
h-高 V=Sh
棱锥?S-底面积
h-高 V=Sh/3
棱台 S1和S2-上、下底面积
h-高 V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3
拟柱体?S1-上底面积
S2-下底面积
S0-中截面积
h-高 V=h(S1+S2+4S0)/6
圆柱 r-底半径
h-高
C-底面周长
S底-底面积
S侧-侧面积
S表-表面积?C=2πr
S底=πr2
S侧=Ch
S表=Ch+2S底
V=S底h
=πr2h
空心圆柱 R-外圆半径
r-内圆半径
h-高 V=πh(R2-r2)
直圆锥?r-底半径
h-高 V=πr2h/3
圆台 r-上底半径
R-下底半径
h-高 V=πh(R2+Rr+r2)/3
球 r-半径
d-直径 V=4/3πr3=πd2/6
球缺 h-球缺高
r-球半径
a-球缺底半径 V=πh(3a2+h2)/6
=πh2(3r-h)/3
a2=h(2r-h)
球台 r1和r2-球台上、下底半径
h-高 V=πh[3(r12+r22)+h2]/6
圆环体 R-环体半径
D-环体直径
r-环体截面半径
d-环体截面直径 V=2π2Rr2
=π2Dd2/4
桶状体 D-桶腹直径
d-桶底直径
h-桶高 V=πh(2D2+d2)/12
(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)
V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15
(母线是抛物线形)
2、立体图形(solid figure)
是各部分不在同一平面内的几何图形，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形。点动成线，线动成面，面动成体。即由面围成体，看一个长方体，正方体等的规则立体图形最多看到立体图形实物的三个面。
概念
所有点不在同一平面上的图形叫立体图形。对现实物体认识上的一种抽象，即把现实的物体在只考虑其形状和大小，而忽略其它因素的基础上在平面上的表示。
常用公式
长方体的表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高) 用符号表示是:S=2(ab+bc+ca)
长方体的体积 =长×宽×高 用符号表示是:V=abc 或底面积×高 用符号表示是:V=Sh
正方体的表面积=棱长×棱长×6 用符号表示是:S=a?×6
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 用符号表示是:V=a?
圆柱的侧面积=底面周长×高 用符号表示是:S侧=πd×h
圆柱的表面积=2×底面积+侧面积 用符号表示是:S=πr?×2+dπh
圆柱的体积=底面积×高 用符号表示是:V=πr?×h
圆锥的体积=底面积×高÷3 用符号表示是:V=πr?×h÷3
圆锥侧面积=1/2*母线长*底面周长
圆台体积=[S+S′+√(SS′)]h÷3
球体体积=(1/3*S*h)*(4*pi*R?)/S=4/3*pi*R?
