一、收获：
1、能够培养我们大学生的观察判断能力、逻辑思维能力、自学能力以及动手解题的能力，而这几种能力结合起来，就可以构成独立分析问题的能力和解决问题的能力。
2、它能让我们把简单的问题先给复杂化最后再简单化，培养我们的思维，更智慧巧妙地解决生活中的问题。学好了高数，就像给你增添了一双的翅膀，你拥有了更开阔缜密的思维，许多问题突然变得迎刃而解了。
二、感受：
1、高等数学注重的是一种数学的思想，比如说微积分思想，极限的思想。强调的数学的逻辑性与分析性。不像高中数学那样注重技巧性。因此，在学习的过程中，课本的知识至关重要。对于课本上面每一个概念、定理、公式、例题，都要理解清楚。
2、特别是对于定理、公式的推导过程，不仅要弄懂每一步的推导过程如何来，而且还要学会自己推导。因为学会自己推导，更有助于我们的记忆和应用。我的经验是，在理解的基础上去记忆公式，而不是一味的死记硬背
三、建议：
1、培养兴趣。
2、课前预习。
3、认真听讲，记好笔记。
4、跟随老师，积极互动。
5、课后复习，整理笔记，多做题。
6、善于归纳。
这是个较为重要的极限求解，也比较基本，就是应用limx趋近于0，sinx~x的等价代换
1.limx~0时，应用上式有sin2x~2x,sin5x~5x，上下同时约去x,得到答案
2/5
2当lim
n趋近于无穷大时，x/(2^n)趋近于0，有sin[x/(2^n)]~x/(2^n),有原式答案为
x，
高数这方面的问题以后可以找我，希望能纳，谢谢！
按照柯西审敛原理，就是要证明对任意的ε>0，存在N使得n>N时对任意的p都有|u(n+1)+...+u(n+p|<ε成立。因此只要找到满足条件N即可，现在已经证明了|u(n+1)+...+u(n+p|<1/2^n，要想让|u(n+1)+...+u(n+p|<ε只需1/2^n<ε即可，因此2^n>1/ε，两边取以2为底的对数，就有n>log(1/ε)，由于N是整数，所以对log(1/ε)取整后作为N，由于n>N时，n的最小值是N+1，它是>log(1/ε)的，因此满足开始说的条件。
利用二重积分计算体积，就是二重积分的几何意义，把立体看作是一个曲顶柱体，曲顶是一个曲面z＝f(x,y)，底面是xy坐标面上的闭区域D，则体积V＝∫∫(D)f(x,y)dxdy.
图形不一定要画，主要是分析出曲顶和底面.
1、柱体的母线平行于z轴，所以柱体被平面z＝0和抛物面x^2+y^2=6-z截得的立体就是一个曲顶柱体，底面就是柱体的准线x=0，y=0，x+y=1围成的一个xy坐标面上的区域D，而曲顶就是抛物面z＝6-(x^2+y^2)，所以体积
V＝∫∫(D) [6-(x^2+y^2)]dxdy＝∫(0→1)dx∫(0→1-x) [6-(x^2+y^2)]dy＝17/6
2、柱体的母线平行于z轴，所以柱体被平面z＝0和2x+3y+z＝6截得的立体就是一个曲顶柱体，底面就是柱体的准线x=0，y=0，x＝1，y＝1围成的一个xy坐标面上的区域D，而曲顶就是平面z＝6-2x-3y，所以体积
V＝∫∫(D) [6-2x-3y]dxdy＝∫(0→1)dx∫(0→1) [6-2x-3y]dy＝7/2
我把数列极限的定义写在这里：
对于任意ε>0，都存在正整数N，使得只要n>N，就有|a[n]-A|<ε，则称A为a[n]的极限。
理解：不管你让它和A有多接近，它都可以通过让n取足够大来达到你的要求。
证明思路：先给一个ε，去找一个N（或者说把N算出来，是含有ε的一个式子）使得n>N时，|a[n]-A|<ε，能找出来就证明了极限。
那就说楼主这两道题了。
(1)给ε>0，要去算出一个N，使得n>N的时候|X[n]Y[n]-0|<ε
我们要算出来这个N，也就是要把它用已知数表示出来。任何常数都是已知数，ε是提前给的，也是已知数，但是这些貌似还不足以算出这个n。除此之外，还有没有什么别的已知数呢？我们注意到lim(n->∞)Yn=0，也就是：
对于任意ε[1]>0，都存在正整数N[1]，使得只要n>N[1]，就有|Y[n]|<ε[1]
也就是说能让|Y[n]|<ε[1]的这个N[1]是个已知数，楼主要想到这个。因此我们算出N里面包括了这个N[1]也没关系。
还有个已知条件，X[n]有界，那么它的界|X[n]|<M的这个M也是个已知数，我们算出的N里面也可以包含它。
这样已知数全部分析完了，现在开始算N了。要让|X[n]Y[n]|<ε，也就是|X[n]|×|Y[n]|<ε，而|X[n]|<M因此如果M|Y[n]|<ε都成立了，必然|X[n]Y[n]|<ε也成立。而M|Y[n]|<ε就是|Y[n]|<ε/M因此只要对于Y[n]找一个N[1]使得n>N[1]时，|Y[n]|<ε/M，就可以保证n>N[1]时|X[n]Y[n]|<ε，那这个使得|Y[n]|<ε/M的N[1]不就是我们要算的N吗？于是就找到了N，证出来了。
(2)两个子列极限都是a，这个我们有什么已知数呢？首先给一个ε>0，是个已知数，其次对于任何ε[1]>0，都有一个N[1]让n=2k>N[1]的时候|X[2k]-a|<ε；还有对于任意ε[2]>0，都有一个N[2]让n=2k+1>N[2]的时候|X[2k+1]-a|<ε。这些个N[1]、N[2]都是已知数。
然后开始算N了。要使得所有的|X[n]-a|<ε，必须让奇数和偶数同时满足。上面那个“标尺”N[1]是让偶数项满足的最小n，N[2]是让奇数项满足的最小n。那楼主想想，把它们两个最大的挑出来，那是不是奇数项偶数项都满足了呢？比如奇数项从n=23以后开始满足，偶数项从n=26才开始满足，那奇数项是从n=23以后开始满足的，那就包括了n=24、n=25、n=26……都满足，当然可以说n=26以后，奇偶都满足。所以只要对于这个ε，找一个N[1]让它奇数项满足，再找一个N[2]让它偶数项满足，取N=max{N[1],N[2]}那么N就是对于所有n>N不管奇数偶数都满足的。我们找到了N，就证完了。
看楼主应该是个初学者，就啰嗦了很多思路的问题。其实我觉得刚开始学高数理解极限定义是很重要的事情，也是比较难的，这样罗嗦一下有必要……
可以总结一下这些原始定义证明极限的做题步骤：
①明确我们是要找一个让极限不等式满足的“标尺”N，
②明确哪些是已知数，题目中的条件如果是一个数列有极限，那么这个数列对于任何ε[1]（还不一定针对你要证明目标的ε，比如第(1)题我们用的已知数就是对于ε/M的那个N[1]）的“标尺”N[1]就都是已知数。
③把要证明的极限不等式|X[n]-A|<ε变形，并找出N。因为我们只要能找出来一个N就够了，因此可以把不等式往充分条件的方向变形：p成立能得到|X[n]-A|<ε成立，那么我们找让p成立的N好了，往往|X[n]-A|<ε成立的N不好找，但是p成立的N好找。一定注意这个不同于解不等式，解不等式是要找等价解集，但是这个只要找一个满足的N。
此题是高等数学中关于等价无穷小的题目，关键点就是等价无穷小的代换。
等价无穷小里有这样一个公式：当x->0时(1+x)^a-1等价于ax
所以在这里套用此公式『2次根号就相当于0.5次方嘛』(1+ax^2)^0.5-1等价于1/2ax^2；另外一方面(sinx)^2等价于x^2这个我不用多解释了吧。
已知两者为等价无穷小，所以当x→0时他们的商应该为1，所以1/2ax^2=x^2,所以得到a=2
马克思主义哲学原理有很多啊,在生活中都有所体现啊,你说的是哪个哲学原理呢.比如说,看事物要用发展的眼光,应用到生活中可以就是说看一个人的时候要看到他以后,而不仅仅是看现在.
一提到马克思主义哲学，我们这些年轻人不禁想起在校时枯燥的政治课：老师在前面高谈阔论，我们就趴在桌子上睡觉，通常大家都把它的乏味度提的比高数还高，数学题至少还有几个“书生”（也就是“呆子”）啃的津津有味，而NOWAY，NOONE！
当然，在校园的中惬意、浪漫了几年的我们，终究会走出象牙塔，跌进这个复杂、快节奏的社会，每天在这个充满金钱、利益的“江湖”中面对各种矛盾、处理各种关系。工作、学习、生活的各种问题接踵而至，疲于应付的大脑如果不能将它们完全搞定，就会引发更多的问题出现，于是，恶性循环产生了。此时，我们是多么希望有一双洞穿一切的慧眼呀！透过虚的外在现象直见本质，或是持一柄降妖除魔的利剑，一切困难迎刃而解。
其实，我们最最需要的那双慧眼、那柄利剑就在我们身边——那就是哲学——确切的说就是我们一直认为最没实际应用的马克思主义哲学。
下面我就将自己学习马克思主义哲学中体会的几个知识点在生活中的应用作以简单论述：
一、马克思主义哲学的辩证思维方式：
有人说哲学就是在你不知向左拐还是向右拐的时候，告诉你左有左的好处、右有右好处、左有左的坏处、右有右的坏处。是的，哲学并没有为我们指明向哪个方向拐，却全面分析了利弊，以便权衡得失，这就是马克思主义哲学的辩证思维方式。在你选择了任意一个方向后，如果特别顺利，你就应居安思危，提醒自己不能麻痹大意，要注意阳光大路上也可能有坑坑洼洼；如果道路比较泥泞，就要相信条条大路通罗马，而且自己得到的锻炼必然要多一些，可能路边的风景也要漂亮些；倘若没有哲学的全面分析，我们这些急功近利的年轻人很可能会在遇到挫折后就匆匆折回，如果顺利也罢，如果前途还不明朗那？是不是再返回，大好的青春便被这些或多或少的反复磨去了不少；而且，我们在选择了一条路后，往往会怀着“这山望着那山高”的浮躁，被那些本可以被我们绕过的坑洼、砖头绊了一跤又一跤，大大影响了我们前进的速度。
同样一件事情，你可以从消极方面的方面去看，也可以从积极的方面去看，关键是怎样调整心态：例如，我们这些年轻人刚参加工作，不管主动的还是被动的都会多做一些工作，许多人便只是被动的抱怨，消极怠工；而另一些人则把它看作是一些学习的机会，主动积极的去做，或是把它看作增加对单位、同事了解的渠道，或是展现自己能力的机会，试想：人的一生有多少机会去做一些惊天动地的大事哪，你的才华和能力恰恰是在这些小事中体现出来的。
生活中这样的例子无处不在，而这就是马克思主义哲学的唯物辨证法的分析对象、辩证思维方法应用对象。成语中的“塞翁失马，焉知非福”及英文中的“likeacoin!”（像个硬币，暗指什么事情都有它的两面性）都是这个意思。任何事、任何人都要辩证的去看，这个道理谁都能理解，关键是自己身在其中时要清醒：顺境时要冷静、别浮躁，逆境中要自信、要积极的等待（也就是一边充电一边等待），而且要从积极的方面看待人或事物。
二、矛盾是事物发展的动力；
“矛盾”可以泛指为“问题”、“困难”。诗有云：“若无闲事挂心头，便是人间好时节！”，可见我们在人生道路上是最怕出现这样那样的问题了，可正是这些坎坷让我们一天天长大、成熟。所以我们首先应该正确面对他们，承认“矛盾”的积极作用，既然“问题”在所难免，为什么我们不把这看作一次提高能力的机会哪？反正我对电脑硬件的知识的了解，都是从解决家里电脑的问题学来的。
在与同事、朋友交往中同样难免出现一些矛盾，我们也不要千方百计掩饰或一次次的仅仅通过自己的让步来避免矛盾的激化。我们应该明白，这些矛盾可能会反而促使我们彼此加深了解，发展成为一种新的关系，“不打不相识”吗！实际上矛盾的发展只有三种结果：一方压倒另一方；双方同归于尽；一种新的对立统一关系产生。所以我们既不能一再的谦让，也不要拼个你死我活，而是不卑不亢的寻求建立一种新的平衡关系。
三、主要矛盾与次要矛盾及矛盾的主要方面与次要方面；
处理各种问题要分清主次、考虑轻重缓急，说的就是这个意思。一大堆问题扑面而来，到底哪个是最重要的、最关键的、影响最大的，把所有的时间精力都集中起来，别的问题到要让路，解决了这个关键问题是不是其他的就迎刃而解了哪！或者一些小问题办不好就算了，人不可能面面俱到，只要没什么大的原则性的错误就行了，完美主义者是最累的。
而一个问题、一个矛盾又有一方起着决定性的，或是一方比较重要，只要把握好解决问题的关键也会事倍功半。比如我们通常会遇到的“工作与学习的矛盾”，而且大家都觉得“越到考试工作越忙！”，分析起来，我们不可能从工作中拿出太多的时间，所以关键就是怎样在业余时间上做文章，少睡一会儿、少玩会儿、提高点效率、平时紧张点不就行了吗？关键之关键有成了平时要控制自己多学一点儿。另外，办事要有、合理安排时间就能提高效率。
四、矛盾的双方总是处在不断的转化中；
这点大家很容易由市场上的供求关系理解，想想VCD刚出现时，“求”大于“供”，利润很大，大量厂家一窝蜂的生产之后，矛盾就转化了。而对于我们中有些总觉得“英雄无用武之地”的“金子们”，很多情况下，是在抱怨中虚度了时光，等机会真正来临，又没有能力把握了，变成了“用武之地无英雄”了。所以正在郁闷的我们更要打牢基础，要知道“学业才识，不日进，则日退！”
五、量变与质变的关系；
我对这点的认识是比较深刻的，这也是来自钢琴的学习，因为我这个人兴趣比较广泛，音乐、美术、英语、乒乓球、摄影样样喜欢，但因为小时候没有机会接触，总想找个什么机会弥补，后来终于知道了青年宫有这样的钢琴成人班，便欢天喜地的报了名，开始还挺新鲜，可每天最少得练一个小时，真是没办法坚持，而且老师说至少的弹两年才能像点样子——还得聪颖好学，后来没俩月我就退学了。之后我就琢磨：学点什么才能又省力见效又快哪？钢琴得弹两年；素描、色彩什么的没两年也差的多吧；英语就更别说了，这都学了十多年了不还那样吗？想来想去终于明白了：什么都得慢慢积累，别太急于求成，人的时间是很有限的，踏下心来认认真真的做好一件事情已经很不容易了。你如果想在“台上”风光十分钟，还就的能耐得住那十年的辛苦。
这其实也是我们为人处世种的“度”的道理。节俭是一种美德——过分了就是吝啬；忍让是大度——太甚了就是软弱。在生活中，就要特别注意这个“度”：对人别太苛刻，那样会让人无法与你相处——也不能太软弱、没主见，这样大家总是充当保护的角色，在困难的时候又没法得到你应有的支持，当然也不愿和你呆在一起；对自己别太苛刻，那样活着会很累，而且在很多情况下是逼着自己比别人强，最后赢了别人输了自己——也不能太放纵，人都有惰性，谁都知道呆着轻松，可还得逼着自己尽量克服这种惰性，在年轻的时候多学一点东西。
六、必然和偶然的关系；
我们总是抱怨机会太偶然，再轮到自己头上可能性就更小了，却没有想到偶然中又蕴藏着必然。汪国真说过：“实力就是机会！”的确，只要你有实力，在你的言谈举止中，在你处理的任何小事中，群众雪亮的眼睛当然能够辨别出你的与众不同，领导自然也会将难度一件大于一件的事情交给你处理，机会自然多了，得到的锻炼也多了，成功的必然性也就大多了！
七、实践与认识的关系
实践是认识的源泉，而认识则可以指导实践，这可以引申到我们面临的“学习”与“应用”的关系，通常我们在业余时间学习，都比较辛苦。也许是因为书本上学到的东西真的与实际相差太大，或认为有些科目如“马克思主义哲学”、“高数”、“管理学”一类的根本没有什么实际的用处，总之是没什么兴趣，我们基本上都是被逼学习，单单为了“考”而学。其实按照马克思主义哲学唯物辨证法的逻辑观点，研究事物的深度和广度本来就是一对矛盾体，正因为哲学是科学的科学、具有指导一切的普遍性，我们才不可能期望它在某个具体问题上给出明确的答案。而其他那些看起来没什么实际应用的科目，恰恰也是普遍应用在工作生活之中的。
“高数”最主要的是锻炼了人的逻辑思维能力，解题的过程实际上就是处理各种问题的过程，先对题目进行分析、弄清题意，然后考虑属于哪些知识点，找出关键问题，再搜索一下大脑中有几种方案可以解题，判断一下那种方案最简便，之后便是具体解题过程，最后再检查一下就ok了。在生活中我们也应注意说话办事的逻辑性、条理性。
而像“管理学”，虽然我们不是高层管理者，却仍处在一种管理与被管理的关系中，知道如何“管理”也就知道了如何“被管理”，比如管理学中有个“例外原则“：即领导一般只抓最好的和最差的，所以你要想拥有更多机会，就要努力做的最好。
另外，也许一些科目没有明显的作用，或是目前没有作用，但“书到用时方恨少”的遗憾却告诉我们：既然学了就应该努力掌握。所以我们应该树立“学而有用”的思想，相信“艺多不压身”，而且要想办法多应用，在应用中你就会有进一步的认识，在应用中学东西也比较快。
八、现象与本质的关系
现象必然与本质有一定的联系，哪怕是象也只是本质的一种特殊表现；所以观察一个人的言谈举止，必然能够了解它的部分内心活动。而我们在认知事物或是了解一个人时，应该全面分析各种现象，因此与一个人交往要注意别过分相信“第一印象”，那只是某时某地某种环境下给你留下的某个印象。
我们在工作时也经常遇到这样的情况：自己辛苦工作了大半天，刚闭会儿眼睛，领导偏偏这时候来找你了，俗话说“不打馋的、不打懒的、只打不长眼的！”，我们是不是应该多做些表面文章哪？领导同事在眼前时多干活，桌子上什么时候都摆一大堆文件。我认为工作的确需要别人认可，但没必要太刻意，你只要平和心态、干净利索的把手头的活干好，别人也会通过你表现出来的多种现象了解你的本质的。
九、共性与个性的关系
任何事物都是一个矛盾体，既是一系列对立统一关系的集合，事物之间便可能存在相同的矛盾，也可能有自己独特的矛盾，这便是矛盾的共性与个性，因此也就形成了事物的不同特点、人的不同个性。这里我想强调一下“个性”，因为我们受“儒家”思想的“中庸之道”影响较深，不太鼓励个性的张扬。实际上，我认为有“个性”到也不一定非穿奇装异服，或是处处不屑与人相同，他更反映在你与他人相同之处的特殊上，比如对同一件事物有自己独特的看法，看一同件事情有自己的独特眼光，做同一件事情由自己独特的创意，特别是“创造力”最能体现出你的与众不同。
十、发展的本质是新事的产生和旧事物的灭亡；
明白了这个本质，也就清楚了我们要想发展，就要不断的学习新的知识、掌握新的技能。有用武之地的“英雄”们，在放电的同时别忘充电；没机会放电的同志们更应该抓紧机会充电。有人说：“人生的道路虽然漫长，可要紧的只有那么几步，特别是在年轻的时候！”这句话说得真是太好了，我们发展的黄金时间，或者说为我们以后发展打牢基础的黄金时间就是现在——为数不多的几年。
年轻朋友们，让我们向着远方的理想，拚搏奋斗吧，世界是属于我们的！
ε取任意给定的正数,不完全正确，应该是任意取定的小正数，因为他刻画了变量与确定常数的逼近程度。既然是个小正数，所以一般情况下我们都认为他小于1。如果证明题中不这样设定，有的结果证明不出来。因为我们研究的是极限状态，无限逼近状态。 因为ε是任意的，设ε的大小只是为证明方便或者是结果的好看，设ε小于几对结果是没有影响的
首先ε取任意给定的正数
（2）做证明某数列的极限值的题必须要明确参数的范围。
（3)取ε<1是为了算数列的极限，如果你取小于2小于3当然没有影响，结果肯定不会错只是会没有必要啦。
